Berechnung aus der Geometrie

Ein neuerer, zerlegter lightSPIN weist folgende, hier interessante, Bauteile auf:

1. Rückschluß außen: Stahlrohr, 2,3mm Wandstärke, 22mm hoch, 44,4mm Außendurchmesser mit $J_1$.

2. Äußere Magnete: Vier Stück, 2,5mm dick, 13,8mm breit, ca. 20mm hoch mit $J_2$. Als Dichte wird 7,4kg/dm$^3$ für NdFeB angenommen.

3. Innerer Rückschluß: Vier Metallstücke

4. Innere Magnete: Vier Stück, ca. 4,7mm breit, ca. 5,3mm dick und ca. 20mm hoch.

Alle zusammen ergeben ein $J_r$. Die leichten, dünnwandigen, eher achsnahen Kunststoffteile werden vernachlässigt! Der äußere Rückschluß berechnet sich als:

$$m_1 = \varrho V=\varrho\pi(r_a^2-r_i^2)h=50,3\mbox{ g}$$ (I.8)

$$J_1 = \int_K r^2\mbox{ d}m=m_1\frac{r_a^2+r_i^2}{2}=2,25\cdot 10^{-5}\mbox{ kgm}^2$$ (I.9)

$$m_2 = \varrho V=\varrho t b h=7,85\mbox{ kg/dm}^3\cdot 2,5\cdot 13,8\cdot 20\mbox{ mm}^3=5,4\mbox{ g}$$ (I.10)

$$J_2 = 4 m_2 r^2=4\cdot 5,4 \mbox{ g}\cdot 18,25^2\mbox{mm}^2=7,2\cdot 10^{-6}\mbox{ kgm}^2$$ (I.11)

Der innere Kreis wird als dickwandiges Rohr vereinfacht:

$$m = \varrho V=\varrho\pi(r_a^2-r_i^2)h=7,85\pi(12^2-5,5^2)=56\mbox{ g}$$ (I.12)

$$J_{3+4} = m\frac{r_a^2+r_i^2}{2}=0,056\cdot \frac{12^2+5,5^2}{2}=4,9\cdot 10^{-6}\mbox{ kgm}^2$$ (I.13)

Die gemessene Gesamtmasse des Läufers liegt bei 146g, die der berechneten Metallteile bei 128g. Der Unterschied liegt mit 13% augenscheinlich hoch, allerdings ist die Differenz eher achsnah, also mit einem geringen Beitrag zum Trägheitsmoment, angeordnet. Damit ergibt sich ein $J_r$ von

$$J_r=J_1+J_2+J_{3+4}=2,25\cdot 10^{-5}+7,2\cdot 10^{-6}+4,9\cdot 10^{-6}=3,5\cdot 10^{-5}\mbox{ kgm}^2$$ (I.14)

Dies ist zwar größer als der aus dem Auspendel berechnete Wert; für eine grobe Abschätzung reichen diese Werte aber.